高校物理では、薄肉レンズの公式 $1/a + 1/b = 1/f$ を覚え、凸レンズ・凹レンズの作図法を使って像の位置や大きさを求めます。
公式の使い方を身につければ入試問題は解けますが、公式がどこから来るのかは説明されません。
大学物理では、この結像公式をスネルの法則と近軸近似（$\sin\theta \approx \theta$）から導出します。
これにより、公式の成り立ちが理解できるようになります。
この記事では、球面での屈折から出発して薄肉レンズの公式を導き、さらに球面鏡の結像公式も同じ枠組みで扱います。
高校物理では、レンズについて次の道具を学びます。
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$
また、凸レンズ・凹レンズの作図では、次の3本の光線を使って像の位置を求めます。
これらの道具は入試で十分に役立ちますが、次の疑問には答えられません。
結像公式を「導ける」ようになる。 球面での屈折（スネルの法則＋近軸近似）から出発して、$1/a + 1/b = 1/f$ を自力で導出できるようになります。
焦点距離が何で決まるかを理解できる。 レンズメーカーの公式を通じて、焦点距離がレンズの曲率半径と屈折率で決まることが分かります。
レンズの公式を導出するために、まず1つの球面での屈折を考えます。
光軸に近い（角度が小さい）光線だけを考える近似を近軸近似（paraxial approximation）と呼びます。 このとき、$\sin\theta \approx \theta$、$\tan\theta \approx \theta$ が成り立ちます。
$$\sin\theta \approx \theta, \qquad \tan\theta \approx \theta \qquad (\theta \ll 1, \text{ラジアン})$$
屈折率 $n_1$ の媒質と屈折率 $n_2$ の媒質が、曲率半径 $R$ の球面で接している場合を考えます。 光軸上の物体（球面からの距離 $s$）からの光が球面で屈折し、像（球面からの距離 $s'$）を作るとします。
光軸上の物点から出た光線が、球面上の点Pに到達する場合を考えます。Pでの法線は球面の中心を通ります。
光線と光軸のなす角を $\alpha$、法線と光軸のなす角を $\phi$、とすると、入射角は $\theta_1 = \alpha + \phi$、屈折角は $\theta_2 = \phi - \beta$（$\beta$ は屈折光線と光軸のなす角）です。
スネルの法則に近軸近似を適用すると：
$$n_1(\alpha + \phi) = n_2(\phi - \beta)$$
$\alpha \approx h/s$、$\beta \approx h/s'$、$\phi \approx h/R$（$h$ は光軸からの高さ）を代入すると：
$$n_1\left(\frac{h}{s} + \frac{h}{R}\right) = n_2\left(\frac{h}{R} - \frac{h}{s'}\right)$$
$h$ で割って整理すると：
$$\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'} = \frac{n_2 - n_1}{R}$$
$$\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'} = \frac{n_2 - n_1}{R}$$
球面屈折の公式が $h$ に依存しないということは、光軸に近いすべての光線が同じ像点に集まることを意味します。 これが「像ができる」ことの数学的な根拠です。
もし近軸近似を使わなければ、光線の高さ $h$ によって集まる位置がずれ、鮮明な像は得られません。 これが収差の原因です。
レンズは2つの球面で構成されています。球面屈折の公式を2回適用し、レンズの厚さを無視する（薄肉近似）と、結像公式が得られます。
レンズの第1面（曲率半径 $R_1$）と第2面（曲率半径 $R_2$）について、球面屈折の公式をそれぞれ立てます。 レンズの屈折率を $n$、外部（空気）の屈折率を $1$ とします。
第1面（空気→レンズ）：$\dfrac{1}{s_1} + \dfrac{n}{s_1'} = \dfrac{n - 1}{R_1}$
第2面（レンズ→空気）：$\dfrac{n}{s_2} + \dfrac{1}{s_2'} = \dfrac{1 - n}{R_2}$
薄肉近似（レンズの厚さ $\to 0$）では、第1面の像が第2面の物体になるので $s_2 = -s_1'$ です。
2つの式を足すと：
$$\frac{1}{s_1} + \frac{1}{s_2'} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$
$s_1 = a$（物体距離）、$s_2' = b$（像距離）とし、右辺を $1/f$ と定義すると：
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$
$$\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$
誤解：$1/a + 1/b = 1/f$ は覚えにくい特殊な形の公式
実際：球面屈折の公式 $n_1/s + n_2/s' = (n_2 - n_1)/R$ が示すように、光学では距離の逆数が自然な量です。 $1/s$ は「光線の収束度」を表しており、レンズは収束度を一定量だけ変える装置と見なせます。 逆数の形は物理的に自然なのです。
球面鏡（凹面鏡・凸面鏡）の結像公式も、同様の方法で導出できます。
反射の法則（入射角＝反射角）と近軸近似を適用すると、球面鏡の結像公式は次のようになります。
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{R} = \frac{1}{f}$$
Q1. 近軸近似とは何ですか。数式で示してください。
Q2. レンズメーカーの公式を書き、各記号の意味を説明してください。
レンズと鏡に関する理解を確認しましょう。
屈折率 $n = 1.5$ のガラスでできた両凸レンズがある。第1面の曲率半径は $R_1 = 20$ cm、第2面の曲率半径は $R_2 = -30$ cm である。次の問いに答えよ。
(1) このレンズの焦点距離 $f$ を求めよ。
(2) 物体をレンズから $60$ cm の位置に置いたとき、像の位置を求めよ。
(1) $f = 24$ cm
(2) $b = 40$ cm（レンズの反対側 40 cm の位置に実像）
(1) $1/f = (1.5 - 1)(1/20 - 1/(-30)) = 0.5 \times (1/20 + 1/30) = 0.5 \times 5/60 = 5/120 = 1/24$。よって $f = 24$ cm。
(2) $1/60 + 1/b = 1/24$ より、$1/b = 1/24 - 1/60 = (5-2)/120 = 3/120 = 1/40$。よって $b = 40$ cm。
曲率半径 $R = 10$ cm の球面ガラス（$n = 1.5$）の平面側に物体を置き、曲面側から見たとき、球面屈折の公式を用いて像の位置を求めよ。物体は球面から $30$ cm の位置にある。
$s' = 90$ cm（球面の反対側 90 cm に像ができる）
空気（$n_1 = 1.0$）からガラス（$n_2 = 1.5$）への球面屈折を考えます。
$\dfrac{n_1}{s} + \dfrac{n_2}{s'} = \dfrac{n_2 - n_1}{R}$ に数値を代入します。
$\dfrac{1.0}{30} + \dfrac{1.5}{s'} = \dfrac{1.5 - 1.0}{10} = \dfrac{0.5}{10} = 0.05$
$\dfrac{1.5}{s'} = 0.05 - 1/30 = 0.05 - 0.0333... = 0.01\overline{6}$
$s' = 1.5 / 0.01\overline{6} = 90$ cm