高校物理では、スネルの法則 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$ を公式として覚え、それを使って屈折角を求めます。
公式としては正しく、入試問題を解くには十分です。
高校でもホイヘンスの原理を使ってスネルの法則を幾何学的に導出しますが、
大学物理ではさらに「光は最短時間の経路を通る」というフェルマーの原理からも導出します。
2つの異なる視点から同じ法則が導けることで、理解がより深まります。
この記事では、高校で覚えたスネルの法則の背後にある物理を明らかにし、屈折の法則をフェルマーの原理から導出します。
まず、高校物理で屈折と反射をどのように学ぶかを確認します。
高校物理では、光の屈折に関して次の法則を学びます。
$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$
反射に関しては、反射の法則（入射角＝反射角）を学びます。
これらの道具で入試問題は十分に解けます。しかし、次の疑問には答えられません。
大学物理では、これらの疑問に対して明確な回答を与えます。
大学物理では、スネルの法則を導出できるようになります。2つの独立な方法で導出できる点が重要です。
スネルの法則を「導ける」ようになる。 高校でも学ぶホイヘンスの原理に加え、大学で学ぶフェルマーの原理からもスネルの法則を導出できるようになります。2つの異なる視点から同じ法則が導ける理由を理解できます。
屈折が起こる物理的理由を理解できる。 光の速さが媒質によって異なることが屈折の原因であり、ホイヘンスの原理で波面の変化として説明できます。
ホイヘンスの原理は、波の伝わり方に関する基本原理です。
波面の各点が、新たな球面波（素元波）の中心となる。次の瞬間の波面は、これらの素元波の包絡面（共通接面）として得られる。
この原理を使って、屈折をどう説明するかを見ましょう。
媒質1（光速 $v_1$）から媒質2（光速 $v_2$、ただし $v_2 < v_1$）に平面波が入射角 $\theta_1$ で入る場合を考えます。
波面が境界面に斜めに到達すると、先に到達した点から素元波が出始めます。 しかし、媒質2では光の速さが遅いため、素元波の半径は媒質1に比べて小さくなります。 その結果、新しい波面（素元波の包絡面）は入射波面と異なる角度を持ちます。これが屈折です。
境界面上で、波面の一端が点Aに到達してから他端が点Bに到達するまでの時間を $\Delta t$ とします。
この時間に、波面の端Aの部分は媒質1中を距離 $AB \sin\theta_1$ だけ進みます。ここで $AB$ は境界面上の2点間の距離です。
一方、点Aから出た素元波は媒質2中で半径 $v_2 \Delta t$ まで広がります。
幾何学的な関係から：
$$\sin\theta_1 = \frac{v_1 \Delta t}{AB}, \qquad \sin\theta_2 = \frac{v_2 \Delta t}{AB}$$
辺々割ると：
$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}$$
屈折率の定義 $n = c/v$ を使うと $v_1 = c/n_1$、$v_2 = c/n_2$ なので：
$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$$
整理すると：
$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$
スネルの法則が導けました。この導出から、屈折は「波の速さが変わること」の幾何学的な帰結であることが分かります。
光が媒質の境界で屈折する理由は、媒質ごとに光の速さが異なるためです。 波面が斜めに境界に到達すると、先に到達した部分は遅い速度で進み始めるため、波面全体の向きが変わります。
屈折率の大きい媒質ほど光の速さが遅く（$v = c/n$）、波面の曲がりが大きくなります。 これがスネルの法則 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$ の物理的な意味です。
スネルの法則を導く2つ目の方法は、フェルマーの原理です。
光は、ある点から別の点に到達するとき、所要時間が停留値（極値）となる経路を通る。
フェルマーの原理が成り立つとして、スネルの法則を導出してみましょう。微分を使います。
媒質1中の点A $(0, h_1)$ から境界面（$y = 0$）上の点P $(x, 0)$ を経て、媒質2中の点B $(d, -h_2)$ に至る経路を考えます。 ここで $d$ はAとBの水平距離、$h_1, h_2$ は各点から境界面までの垂直距離です。
A→P の距離は $\sqrt{x^2 + h_1^2}$、P→B の距離は $\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}$ です。 所要時間 $T$ は：
$$T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + h_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}{v_2}$$
$T(x)$ が最小（停留値）となる条件は $dT/dx = 0$ です。
$$\frac{dT}{dx} = \frac{x}{v_1 \sqrt{x^2 + h_1^2}} - \frac{d - x}{v_2 \sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}} = 0$$
ここで、幾何学的に $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + h_1^2}} = \sin\theta_1$、$\dfrac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}} = \sin\theta_2$ です。
よって：
$$\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2}$$
$v = c/n$ を代入すると：
$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$
ホイヘンスの原理とは全く異なるアプローチですが、同じスネルの法則が得られました。
誤解：光は最短距離を通る（直線で進む）
実際：光は最短時間の経路を通ります。2つの媒質で光の速さが異なる場合、直線（最短距離）は最短時間の経路とは限りません。 屈折率の大きい（光が遅い）媒質をなるべく短く通過するよう、経路が曲がるのです。
フェルマーの原理は反射の法則（入射角＝反射角）も導けます。 反射の場合は光が同じ媒質中を進むため、最短時間の経路は最短距離の経路と一致します。
鏡面で反射する場合の最短距離の経路を求めると、入射角と反射角が等しくなることが幾何学的に示せます。 つまり反射の法則も暗記ではなく、フェルマーの原理から導出できるものです。
屈折と反射の理解は、光学の他のテーマの基礎になります。
Q1. ホイヘンスの原理によれば、光が屈折する原因は何ですか。
Q2. フェルマーの原理を一文で述べてください。
屈折と反射に関する理解を深めましょう。
空気（$n_1 = 1.0$）中からガラス（$n_2 = 1.5$）に、入射角 $30°$ で光が入射した。次の問いに答えよ。
(1) 屈折角 $\theta_2$ を求めよ。
(2) ガラス中での光の速さは、真空中の光速 $c$ の何倍か。
(1) $\theta_2 = \arcsin(1/3) \approx 19.5°$
(2) $c/1.5 = 2c/3$（真空中の光速の $2/3$ 倍）
(1) スネルの法則 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$ より、$1.0 \times \sin 30° = 1.5 \times \sin\theta_2$。$\sin 30° = 0.5$ なので、$\sin\theta_2 = 0.5/1.5 = 1/3$。$\theta_2 = \arcsin(1/3) \approx 19.5°$。
(2) 屈折率の定義 $n = c/v$ より、$v = c/n = c/1.5$。
海岸の点Aにいるライフセーバーが、沖合の点Bで溺れている人を助けに向かう。陸上での走る速さは $v_1$、水中での泳ぐ速さは $v_2$（$v_2 < v_1$）である。海岸線に対してAは距離 $h_1$ 内陸に、Bは距離 $h_2$ 沖合にいる。AとBの海岸線に沿った距離は $d$ である。
(1) ライフセーバーが海岸線上の点Pを経由してBに到達するまでの所要時間 $T$ を、Aからの海岸線に沿った距離 $x$ の関数として表せ。
(2) $T$ を最小にする $x$ の条件を求め、これがスネルの法則と同じ形であることを示せ。
(3) この問題と光の屈折の類似性について述べよ。
(1) $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + h_1^2}}{v_1} + \dfrac{\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}{v_2}$
(2) $\dfrac{\sin\theta_1}{v_1} = \dfrac{\sin\theta_2}{v_2}$（$\theta_1$：Aから海岸線への角度、$\theta_2$：海岸線からBへの角度）
(3) 光の屈折において、光速が異なる2つの媒質を通過する場合と数学的に同一の構造を持つ。フェルマーの原理（最短時間経路）が光の屈折だけでなく、速度が領域ごとに異なるあらゆる最短時間問題に適用できることを示している。
(1) A$(0, h_1)$ からP$(x, 0)$ までの距離は $\sqrt{x^2 + h_1^2}$、P$(x, 0)$ からB$(d, -h_2)$ までの距離は $\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}$。
(2) $dT/dx = 0$ とすると：
$\dfrac{x}{v_1\sqrt{x^2 + h_1^2}} = \dfrac{d-x}{v_2\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}}$
$\sin\theta_1 = x/\sqrt{x^2 + h_1^2}$、$\sin\theta_2 = (d-x)/\sqrt{(d-x)^2 + h_2^2}$ なので、$\sin\theta_1/v_1 = \sin\theta_2/v_2$。
これはスネルの法則 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ において $n \propto 1/v$ とした場合と一致する。
(3) 光の屈折もライフセーバーの問題も、「速度の異なる2つの領域を通過する際の最短時間経路」という同一の数学的構造を持つ。フェルマーの原理は光に固有の法則ではなく、速度が領域ごとに異なる状況での最適経路の一般原理として理解できる。