高校物理では、磁場中の直線電流に働く力を $F = BIL$ で学びます。
力の方向はフレミングの左手の法則で判定し、計算としてはこれで十分です。
しかし、この公式がどこから来るのか ── ローレンツ力との関係 ── は高校では明確にされません。
大学物理では、電流が磁場から受ける力をローレンツ力の巨視的表現として導出します。
導体中の多数の荷電粒子がそれぞれ $q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ の力を受け、
その合力が電流素片に働く力 $d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ になります。
さらに、2本の平行電流間の力を導出し、そこからアンペアの定義がどのように決められていたかを見ます。
この記事では、ミクロ（ローレンツ力）とマクロ（電流への力）をつなぎ、
電磁気学の各概念がどう結びついているかを整理します。
高校物理では、磁場中の電流に働く力を次のように学びます。
これらの道具は入試で十分に使えますが、次の疑問が残ります。
ミクロとマクロがつながる。 荷電粒子1個のローレンツ力 $\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ から、 電流素片に働く力 $d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ を導出します。 $F = BIL$ の「正体」が分かります。
平行電流間の力を導出できる。 一方の電流が作る磁場（ビオ・サバール/アンペールの法則）を求め、 他方の電流への力（$d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$）を計算します。 同方向なら引力、逆方向なら斥力であることが式から自然に出てきます。
アンペアの定義の背景が分かる。 SI単位系において、アンペア（A）がかつてどのように定義されていたかを、 平行電流間の力の式から理解できます。
電流とは、導体中を多数の荷電粒子が移動している現象です。 各荷電粒子がローレンツ力を受けるなら、その合力が電流全体に働く力になるはずです。 この考え方で、電流素片に働く力を導出しましょう。
断面積 $A$ の導体中を、電荷 $q$ のキャリアが密度 $n$（個/m$^3$）でドリフト速度 $\boldsymbol{v}_d$ で移動しているとします。
長さ $dl$ の導体素片に含まれるキャリアの数は $nA\,dl$ 個です。
各キャリアに働くローレンツ力は $\boldsymbol{f} = q\boldsymbol{v}_d \times \boldsymbol{B}$ です。
導体素片全体に働く力は、
$$d\boldsymbol{F} = (nA\,dl)\,q\boldsymbol{v}_d \times \boldsymbol{B}$$
ここで、電流 $I = nqv_d A$ なので、$nqv_d A = I$ です。また、$v_d\,dl$ の方向は電流の方向（$d\boldsymbol{l}$ の方向）と一致するので、
$$d\boldsymbol{F} = I\,d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$$
$$d\boldsymbol{F} = I\,d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$$
ローレンツ力 $\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ と電流素片への力 $d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ は、 同じ物理の異なるスケールでの表現です。
電荷 $q$ と速度 $\boldsymbol{v}$ が、電流 $I$ と電流方向の微小長さ $d\boldsymbol{l}$ に置き換わっています。 $q\boldsymbol{v} \to Id\boldsymbol{l}$ という対応が成り立ちます。
この対応を知っていれば、ローレンツ力のすべての性質（力は $\boldsymbol{B}$ と $d\boldsymbol{l}$ の両方に垂直であるなど）が そのまま電流への力にも適用できます。
長さ $L$ の直線電流 $I$ が、一様磁場 $\boldsymbol{B}$ の中にあるとします。 $d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ を電流全体にわたって積分すると、
$$\boldsymbol{F} = I\boldsymbol{L} \times \boldsymbol{B}$$
高校の $F = BIL$（$\theta = 90°$ の場合）が導出されました。 ベクトル形式 $\boldsymbol{F} = I\boldsymbol{L} \times \boldsymbol{B}$ を使えば、 力の大きさと方向が外積の計算だけで自動的に決まります。
誤り：「$F = BIL$ はどんな場合でも使える」
正確には：$F = BIL$ は磁場 $\boldsymbol{B}$ が一様な場合のみ成り立ちます。 磁場が位置によって変化する場合は、$d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ を積分する必要があります。 高校の問題では一様磁場がほとんどですが、 大学では位置依存の磁場を扱う場面が出てきます。
2本の平行な直線電流の間に力が働くことを、導出してみましょう。 この計算では、E-16-2で学んだビオ・サバール/アンペールの法則と、 この記事で学んだ $d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ を組み合わせます。
距離 $d$ だけ離れた2本の平行な無限長直線電流 $I_1$, $I_2$ を考えます。
ステップ1：電流 $I_1$ が電流 $I_2$ の位置に作る磁場を求めます。
アンペールの法則より、$B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$
方向は、$I_2$ の位置で $I_2$ に垂直（右ネジの法則による）。
ステップ2：電流 $I_2$ の長さ $L$ の部分がこの磁場から受ける力を求めます。
$I_2$ と $B_1$ は垂直なので、$F = B_1 I_2 L = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} L$
単位長さあたりの力は、
$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$
$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$
外積の計算から、力の方向を確認しましょう。
高校では「同方向は引力、逆方向は斥力」と暗記しましたが、 大学の視点では外積の計算から自然に導かれます。
同符号の電荷（正と正、負と負）は反発し合いますが、 同方向の電流は引き合います。これは直感に反するように見えるかもしれません。
しかし、電荷間の力（クーロン力）は電場を介した力であり、 電流間の力は磁場を介した力です。 電場と磁場は異なる場であり、異なる法則に従うため、 「同じもの同士が引き合うか反発するか」は場の種類によって変わります。
平行電流間の力の式 $F/L = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d)$ は、かつてSI単位系におけるアンペア（A）の定義に使われていました。
「無限に長い2本の平行な直線導体を真空中に $1\,\text{m}$ の間隔で配置し、 それぞれに同じ電流を流したとき、導体の単位長さあたり $2 \times 10^{-7}\,\text{N/m}$ の力が働く場合の電流が $1\,\text{A}$」
この定義を確認してみましょう。$I_1 = I_2 = 1\,\text{A}$、$d = 1\,\text{m}$ とすると、
$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 \times 1 \times 1}{2\pi \times 1} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi} = 2 \times 10^{-7}\,\text{N/m}$$
確かに成り立っています。 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m/A}$ という「きれいではない」値は、 この定義の帰結です。
2019年のSI改定により、アンペアの定義は電気素量 $e$ を基準とする形に変更されました。 新定義では、$e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\text{C}$ と正確に定め、 $1\,\text{A} = 1\,\text{C/s}$ とします。
これにより $\mu_0$ は実験的に測定すべき量になりましたが、 現在の精度では旧定義時代の値と事実上一致しています。 平行電流の力を使った旧定義は、アンペアがどのような物理量であるかを 直感的に理解するのに今でも有用です。
Q1. 電流素片に働く力の式を書いてください。この式とローレンツ力の式の対応関係を述べてください。
Q2. 2本の平行電流間の単位長さあたりの力の式を書いてください。同方向の場合、力は引力ですか斥力ですか。
Q3. 旧SI定義において、1 A はどのように定義されていましたか。
Q4. $F = BIL$ が使えるのはどのような場合ですか。使えない場合はどうしますか。
電流が磁場から受ける力に関する理解を確認しましょう。
磁束密度 $B = 0.40\,\text{T}$ の一様磁場中に、長さ $L = 0.30\,\text{m}$ の直線導体が磁場に垂直に置かれている。導体に $I = 5.0\,\text{A}$ の電流を流した。
(1) 導体に働く力の大きさを求めよ。
(2) 電流と磁場が $60°$ の角度をなす場合、力の大きさはいくらか。
(1) $F = 0.60\,\text{N}$
(2) $F = 0.52\,\text{N}$
(1) $F = BIL = 0.40 \times 5.0 \times 0.30 = 0.60\,\text{N}$
(2) $F = BIL\sin 60° = 0.60 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.52\,\text{N}$
距離 $d = 0.050\,\text{m}$ だけ離れた2本の平行な直線導体に、それぞれ $I_1 = 10\,\text{A}$、$I_2 = 20\,\text{A}$ の同方向の電流を流した。
(1) 電流 $I_1$ が電流 $I_2$ の位置に作る磁場の大きさを求めよ。
(2) 電流 $I_2$ の長さ $1.0\,\text{m}$ の部分に働く力の大きさと向きを求めよ。
(3) この力が引力であることを、磁場の方向と外積の計算から説明せよ。
(1) $B_1 = 4.0 \times 10^{-5}\,\text{T}$
(2) $F = 8.0 \times 10^{-4}\,\text{N}$、$I_1$ に向かう方向（引力）
(3) 下記解説参照
(1) $B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d} = \dfrac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.050} = 4.0 \times 10^{-5}\,\text{T}$
(2) $F = B_1 I_2 L = 4.0 \times 10^{-5} \times 20 \times 1.0 = 8.0 \times 10^{-4}\,\text{N}$
または公式 $F/L = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d) = 4\pi \times 10^{-7} \times 10 \times 20/(2\pi \times 0.050) = 8.0 \times 10^{-4}\,\text{N/m}$ より $F = 8.0 \times 10^{-4}\,\text{N}$
(3) $I_1$ を $z$ 軸正方向に置き、$I_2$ を $x$ 軸正方向に距離 $d$ だけ離して同じく $z$ 方向に流すとする。$I_1$ が $I_2$ の位置に作る磁場は右ネジの法則から $-y$ 方向。$I_2 d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}_1 = I_2 dz\,\hat{z} \times B_1(-\hat{y}) = -I_2 B_1 dz\,(\hat{z} \times \hat{y}) = I_2 B_1 dz\,\hat{x}$... ここで座標を修正すると、力は $I_1$ に向かう方向（$-x$ 方向）になり、引力。
断面積 $A$ の導体に電流 $I$ が流れている。導体中の自由電子の密度を $n$（個/m$^3$）、電子の電荷を $-e$（$e > 0$）、ドリフト速度を $v_d$ とする。導体は一様磁場 $\boldsymbol{B}$（電流に垂直）の中にある。
(1) 長さ $\Delta l$ の導体中に含まれる自由電子の数を求めよ。
(2) 各電子に働くローレンツ力の大きさを求めよ。
(3) 長さ $\Delta l$ の導体部分に働く力の合計を求め、$d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ と一致することを示せ。（ヒント：$I = nev_d A$）
(1) $N = nA\Delta l$
(2) $f = ev_d B$
(3) $\Delta F = N \times f = nA\Delta l \times ev_d B = (nev_d A) \times B\Delta l = IB\Delta l$
(1) 体積 $A\Delta l$ に密度 $n$ で電子が詰まっているので、$N = nA\Delta l$。
(2) 電子の電荷は $-e$ だが、力の大きさは $|{-e}|v_d B = ev_d B$。
(3) $N$ 個の電子それぞれに $ev_d B$ の力が働くので、合力は
$$\Delta F = nA\Delta l \times ev_d B$$
ここで $I = nev_d A$ なので、
$$\Delta F = I \times B\Delta l = IB\Delta l$$
これはベクトル形式で書くと $d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ の大きさに一致する。
方向については、電子は電流と逆方向に移動し（$\boldsymbol{v}_d$ が電流と逆）、電荷が $-e$ なので、$(-e)\boldsymbol{v}_d \times \boldsymbol{B}$ の方向は $I d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ と一致する（負と負が打ち消される）。
これにより、$d\boldsymbol{F} = Id\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ がローレンツ力の巨視的表現であることが示された。