すべての力学は「$m\ddot{x} = F$ を解く」に帰着する。
力学は物理学の基盤です。高校では公式を暗記し、場面に応じて適用することで問題を解きます。等加速度運動の3公式、力積と運動量の関係、エネルギー保存則――これらを正しく使い分ける力が求められます。
大学では、これらすべてが微分方程式によって統一的に記述されます。運動方程式 $m\ddot{x} = F$ という一つの式を立て、それを解く。等加速度運動も、単振動も、円運動も、すべて同じ手続きで扱えます。
力学のあらゆる問題は、「力 $F$ を特定し、$m\ddot{x} = F$ を解く」という一つの方針に帰着します。高校で覚えた個別の公式は、この微分方程式の特殊解として自然に導かれます。
| テーマ | 高校 | 大学 |
|---|---|---|
| 速度・加速度 | 「変化の割合」として計算 | 微分 $v = dx/dt$, $a = d^2x/dt^2$ |
| 等加速度の3公式 | 暗記して適用 | $a = \text{const}$ を積分して導出 |
| 力学的エネルギー保存 | 天下りの法則として学ぶ | 運動方程式から数学的に証明 |
| 円運動・単振動 | 個別の公式で対処 | 微分方程式の解として統一 |
この編で使う数学は、微分、積分、1階・2階常微分方程式の3つです。いずれも各記事の中で必要になった時点で導入しますので、事前に学んでおく必要はありません。
特に、第1章で微分を、第2章で微分方程式を、第5章で線積分を扱います。数学は物理の文脈の中で学ぶほうが意味をつかみやすいため、本書では数学と物理を並行して進めます。