高校物理では、音速を $v = 340$ m/s（15℃）という数値として覚え、温度依存性は $v = 331.5 + 0.6t$ という近似式で扱います。
この式は計算問題を解くには十分ですが、「なぜ音速がこの値になるのか」「なぜ温度に依存するのか」は説明されません。
大学物理では、音速を媒質の弾性率と密度から導出します。
$v = \sqrt{B/\rho}$ という一般式を出発点とし、気体の場合に断熱弾性率 $B = \gamma P$ を用いることで $v = \sqrt{\gamma RT/M}$ が得られます。
この式から、高校で暗記した温度依存性も自然に導けます。
この記事では、音速の一般的な導出と、ニュートンからラプラスに至る音速の歴史的修正を扱います。
高校物理では、音速について次のように学びます。
これらは数値的事実として提示され、問題を解くにはこれで十分です。 しかし、この扱いにはいくつかの限界があります。
これらの疑問に答えるには、音速を物理的に導出する必要があります。
大学物理では、音速を「覚える数値」ではなく、媒質の物理的性質から計算で導く量として扱います。
音速の物理的意味が分かる。 音速は「媒質がどれだけ硬くて、どれだけ軽いか」で決まります。弾性率 $B$ が大きいほど、密度 $\rho$ が小さいほど音速は大きくなります。
高校の近似式を自分で導ける。 $v = \sqrt{\gamma RT/M}$ から $v = 331.5 + 0.6t$ を導出できます。数値を暗記する必要がなくなります。
ニュートンとラプラスの歴史を知る。 ニュートンは音速の式を最初に導きましたが、等温過程と仮定したため値が合いませんでした。ラプラスが断熱過程に修正したことで実測値と一致しました。
音は、媒質の中を伝わる縦波（疎密波）です。 媒質の一部が圧縮されると、その圧縮が隣へ伝わり、次々と波が伝播していきます。
この伝播速度を決めるのは、2つの物理量です。
$$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$$
体積弾性率 $B$ は、圧力変化 $\Delta P$ と体積変化の比で定義されます。
$$B = -V \frac{\Delta P}{\Delta V}$$
マイナス符号は、圧力が増加すると体積が減少する（$\Delta V < 0$）ことに対応しています。 $B$ の値が大きいほど、同じ圧力変化に対して体積変化が小さい、つまり「硬い」媒質です。
誤解：「固体は密度が大きいから音速が速い」
正しい理解：固体の音速が速いのは、弾性率 $B$ が密度 $\rho$ 以上に大きいからです。 $v = \sqrt{B/\rho}$ において、固体の弾性率は気体の弾性率の $10^4$ 倍以上あり、密度の増加分を大きく上回ります。
| 媒質 | 体積弾性率 $B$（Pa） | 密度 $\rho$（kg/m$^3$） | 音速 $v$（m/s） |
|---|---|---|---|
| 空気（15℃） | $1.4 \times 10^5$ | $1.23$ | $340$ |
| 水（20℃） | $2.2 \times 10^9$ | $1000$ | $1480$ |
| 鉄 | $1.6 \times 10^{11}$ | $7870$ | $5100$ |
表から分かるように、空気から鉄へ密度は約 6400 倍に増えますが、弾性率は約 $10^6$ 倍に増えます。 $v = \sqrt{B/\rho}$ において弾性率の増加が密度の増加を圧倒するため、固体のほうが音速が速いのです。
気体中の音速を求めるには、気体の弾性率を具体的に計算する必要があります。 ここで、音波の伝播が断熱過程であることが重要になります。
音波による圧縮・膨張は非常に高速に起こります。 可聴音の振動数は 20 Hz 〜 20000 Hz であり、1回の圧縮・膨張にかかる時間は最長でも 0.05 秒、通常はそれよりはるかに短い時間です。 この短い時間では、圧縮された部分から周囲への熱の移動がほとんど起こりません。 したがって、音波の伝播は断熱変化として扱うのが適切です。
断熱変化では、気体は $PV^{\gamma} = \text{const.}$ の関係（ポアソンの法則）に従います。 ここで $\gamma$ は比熱比（$\gamma = C_P / C_V$）です。
$PV^{\gamma} = \text{const.}$ の両辺を微分します。
$$V^{\gamma}\,dP + P \cdot \gamma V^{\gamma - 1}\,dV = 0$$
$V^{\gamma - 1}$ で割ると：
$$V\,dP + \gamma P\,dV = 0$$
整理すると：
$$-V\frac{dP}{dV} = \gamma P$$
左辺は体積弾性率 $B$ の定義そのものです。したがって：
$$B_{\text{ad}} = \gamma P$$
断熱弾性率は $B_{\text{ad}} = \gamma P$ です。これを音速の一般式に代入します。
$$v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$$
理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ を用いると、$P/\rho$ を温度で表すことができます。
$PV = nRT$ より $P = nRT/V$。
密度 $\rho = m/V$（$m$ は気体の総質量）なので：
$$\frac{P}{\rho} = \frac{nRT/V}{m/V} = \frac{nRT}{m} = \frac{RT}{M}$$
ここで $M = m/n$ はモル質量です。
したがって：
$$v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$
$$v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$
ニュートンは音速の式を最初に導きましたが、音波の伝播を等温過程と仮定しました。 等温変化では $PV = \text{const.}$ なので、$B_{\text{iso}} = P$ です。 これを使うと $v = \sqrt{P/\rho}$ となり、計算値は約 280 m/s になります。実測値の 340 m/s より約 16% 小さい値です。
約100年後、ラプラスが「音波の伝播は断熱過程である」と指摘し、$B = \gamma P$ を使うことで実測値と一致させました。 $\gamma \approx 1.40$ を使うと $v = \sqrt{1.40 \times P/\rho} \approx 340$ m/s となり、実測値と一致します。
この歴史は、物理において「どのような過程を仮定するか」が結果に大きく影響することを示す良い例です。
$v = \sqrt{\gamma RT/M}$ から、音速は絶対温度の平方根に比例することが分かります。
$$v \propto \sqrt{T}$$
高校の近似式 $v = 331.5 + 0.6t$（$t$ は摂氏温度）は、この関係から導くことができます。
摂氏温度 $t$ と絶対温度 $T$ の関係は $T = 273.15 + t$ です。
0℃（$T_0 = 273.15$ K）での音速を $v_0$ とすると：
$$v = v_0 \sqrt{\frac{T}{T_0}} = v_0 \sqrt{\frac{273.15 + t}{273.15}} = v_0 \sqrt{1 + \frac{t}{273.15}}$$
$t / 273.15$ が十分小さいとき、$\sqrt{1 + x} \approx 1 + x/2$ の近似が使えるので：
$$v \approx v_0 \left(1 + \frac{t}{2 \times 273.15}\right) = v_0 + \frac{v_0}{546.3}\,t$$
$v_0 = 331.5$ m/s を代入すると：
$$v \approx 331.5 + \frac{331.5}{546.3}\,t \approx 331.5 + 0.607\,t$$
これが高校の近似式 $v \approx 331.5 + 0.6t$ です。
高校で暗記する $v = 331.5 + 0.6t$ は、$v = \sqrt{\gamma RT/M}$ を $t = 0$ ℃付近で1次近似したものです。
この近似は $t$ が $-20$ ℃ 〜 $40$ ℃ 程度の範囲では十分な精度を持ちますが、極端な温度（数百℃など）では $\sqrt{T}$ の正確な式を使う必要があります。
大学の式を知っていれば、近似式を覚える必要はありません。必要に応じて導出できます。
誤り：「音速は摂氏温度の平方根に比例する」
正しい：音速は絶対温度 $T$（K）の平方根に比例します。摂氏温度 $t$ の平方根ではありません。 高校の $v = 331.5 + 0.6t$ が $t$ の1次式に見えるのは、常温付近での近似にすぎません。
音速の導出は、波動論と熱力学の交差点に位置します。
Q1. 音速の一般式 $v = \sqrt{B/\rho}$ において、$B$ は何を表す物理量ですか。
Q2. ニュートンの音速の計算が実測値より小さかった理由は何ですか。
Q3. 気体中の音速 $v = \sqrt{\gamma RT/M}$ において、音速は絶対温度 $T$ のどのような関数ですか。
Q4. 固体の音速が気体より速いのはなぜですか。$v = \sqrt{B/\rho}$ を用いて説明してください。
音速の導出と温度依存性について、問題で確認しましょう。
空気の比熱比を $\gamma = 1.40$、モル質量を $M = 0.029$ kg/mol、気体定数を $R = 8.314$ J/(mol$\cdot$K) とする。次の問いに答えよ。
(1) 気温 15℃（$T = 288$ K）における空気中の音速を $v = \sqrt{\gamma RT/M}$ を用いて計算せよ。
(2) 気温 30℃（$T = 303$ K）における空気中の音速を計算せよ。
(1) $v = \sqrt{\dfrac{1.40 \times 8.314 \times 288}{0.029}} \approx 340$ m/s
(2) $v = \sqrt{\dfrac{1.40 \times 8.314 \times 303}{0.029}} \approx 349$ m/s
(1) $\gamma RT/M = 1.40 \times 8.314 \times 288 / 0.029 \approx 115600$。$\sqrt{115600} \approx 340$ m/s。
(2) $\gamma RT/M = 1.40 \times 8.314 \times 303 / 0.029 \approx 121600$。$\sqrt{121600} \approx 349$ m/s。
高校の近似式 $v = 331.5 + 0.6 \times 30 = 349.5$ m/s とほぼ一致することが確認できる。
気体中の音速が $v = \sqrt{\gamma RT/M}$ で与えられるとする。$T = 273.15 + t$（$t$ は摂氏温度）を用いて、以下の問いに答えよ。
(1) 0℃での音速 $v_0$ の式を書け。
(2) $v/v_0$ を $t$ を用いて表せ。
(3) $t/273.15 \ll 1$ のとき、$\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ の近似を用いて $v \approx v_0 + (v_0 / 546.3)\,t$ を示せ。
(1) $v_0 = \sqrt{\gamma R \times 273.15 / M}$
(2) $v/v_0 = \sqrt{(273.15 + t)/273.15} = \sqrt{1 + t/273.15}$
(3) $x = t/273.15$ とおくと $v \approx v_0(1 + t/(2 \times 273.15)) = v_0 + v_0 t / 546.3$
(1) $v = \sqrt{\gamma RT/M}$ に $T = 273.15$ K を代入するだけ。
(2) $v/v_0 = \sqrt{T/T_0} = \sqrt{(273.15 + t)/273.15}$。
(3) $t/273.15$ が小さいとき、テイラー展開の1次の項だけを残すと $\sqrt{1 + x} \approx 1 + x/2$。 $v_0 \approx 331.5$ m/s を使うと $v_0/546.3 \approx 0.607 \approx 0.6$ となり、高校の $v = 331.5 + 0.6t$ が再現される。
1気圧（$P = 1.013 \times 10^5$ Pa）、15℃の空気の密度を $\rho = 1.225$ kg/m$^3$、比熱比を $\gamma = 1.40$ とする。次の問いに答えよ。
(1) ニュートンのように等温過程を仮定した場合の音速（等温音速）$v_{\text{iso}} = \sqrt{P/\rho}$ を計算せよ。
(2) ラプラスの補正を加えた音速（断熱音速）$v_{\text{ad}} = \sqrt{\gamma P/\rho}$ を計算せよ。
(3) $v_{\text{ad}} / v_{\text{iso}}$ を $\gamma$ で表し、数値を求めよ。この結果から、等温の仮定による誤差が何%であるか述べよ。
(1) $v_{\text{iso}} = \sqrt{1.013 \times 10^5 / 1.225} \approx 288$ m/s
(2) $v_{\text{ad}} = \sqrt{1.40 \times 1.013 \times 10^5 / 1.225} \approx 340$ m/s
(3) $v_{\text{ad}} / v_{\text{iso}} = \sqrt{\gamma} = \sqrt{1.40} \approx 1.183$。等温の仮定では約 18% 過小評価する。
(1) $P/\rho = 1.013 \times 10^5 / 1.225 \approx 82700$。$\sqrt{82700} \approx 288$ m/s。
(2) $\gamma P/\rho = 1.40 \times 82700 \approx 115800$。$\sqrt{115800} \approx 340$ m/s。実測値と一致する。
(3) $v_{\text{ad}} = \sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{\gamma} \times \sqrt{P/\rho} = \sqrt{\gamma}\,v_{\text{iso}}$。 $\sqrt{1.40} \approx 1.183$ なので、等温音速は断熱音速の $1/1.183 \approx 0.845$ 倍、つまり約 15.5% 小さい。 逆にいえば、断熱音速は等温音速より約 18.3% 大きい。
この差は実験で容易に検出でき、ニュートンの時代にも音速の実測値は知られていたため、等温モデルの問題は認識されていた。