高校物理では、定積・定圧・等温・断熱の4つの状態変化を個別に学びます。
それぞれの変化ごとに $Q$、$W$、$\Delta U$ の関係を覚える必要があり、
「なぜその結果になるのか」が見えにくい構成になっています。
大学物理では、4つの変化はすべて熱力学第一法則 $dU = \delta Q - \delta W$ の特殊ケースとして統一的に扱います。
各変化の条件（$dV = 0$、$dP = 0$、$dT = 0$、$\delta Q = 0$）を第一法則に代入するだけで、
すべての結果が自動的に導けます。
さらに、P-V図を使うと仕事が面積として視覚化され、
異なる過程での仕事の大小関係やサイクルでの正味の仕事が直感的に読み取れるようになります。
高校物理では、気体の状態変化を4つに分類して学びます。
| 状態変化 | 条件 | 高校での扱い |
|---|---|---|
| 定積変化 | 体積一定 | $W = 0$、$Q = \Delta U$ |
| 定圧変化 | 圧力一定 | $W = P\Delta V$、$Q = \Delta U + P\Delta V$ |
| 等温変化 | 温度一定 | $\Delta U = 0$、$Q = W$ |
| 断熱変化 | 熱の出入りなし | $Q = 0$、$W = -\Delta U$ |
この表を暗記し、問題文の条件に応じて使い分けるのが高校のアプローチです。 入試では有効ですが、次のような疑問が残ります。
4つの状態変化を暗記する必要がなくなる。 第一法則 $dU = \delta Q - P\,dV$ に各変化の条件を代入するだけで、すべての結果が出ます。 統一的な原理から個別の結果を導出できるようになります。
等温変化の仕事を自分で計算できる。 $W = \int P\,dV$ に $P = nRT/V$ を代入して積分するだけです。
ポアソンの式 $PV^\gamma = \text{const}$ を導出できる。 断熱条件と第一法則から、微分方程式を解くことで導けます。
P-V図の読み方が分かる。 面積が仕事に対応し、サイクルの囲む面積が正味の仕事になることが理解できます。
定積変化は体積が一定（$dV = 0$）の過程です。第一法則に代入してみましょう。
$dV = 0$ より $\delta W = P\,dV = 0$
$$dU = \delta Q \quad \Longrightarrow \quad \Delta U = Q$$
理想気体では $U = \dfrac{f}{2}nRT$ なので、$\Delta U = nC_V \Delta T$（ここで $C_V = \dfrac{f}{2}R$ は定積モル比熱）です。したがって：
$$Q = nC_V \Delta T$$
P-V図では、定積変化は縦の直線で表されます。$V$ が変化しないため、曲線の下の面積（= 仕事）はゼロです。
定圧変化は圧力が一定（$P = \text{const}$）の過程です。
$P = \text{const}$ より $W = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2} P\,dV = P\Delta V = P(V_2 - V_1)$
$$Q = \Delta U + W = nC_V \Delta T + P\Delta V$$
ここで、理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ を使います。$P$ が一定のとき $P\Delta V = nR\Delta T$ です。したがって：
$$Q = nC_V \Delta T + nR\Delta T = n(C_V + R)\Delta T$$
定圧変化で加えた熱量を $Q = nC_P \Delta T$ と書くと、$C_P$ は定圧モル比熱です。比較すると：
$$C_P - C_V = R$$
定圧変化で $Q = nC_P \Delta T$
第一法則より $Q = \Delta U + W = nC_V \Delta T + P\Delta V$
$PV = nRT$ で $P = \text{const}$ なので $P\Delta V = nR\Delta T$
したがって $nC_P \Delta T = nC_V \Delta T + nR\Delta T$
両辺を $n\Delta T$ で割って $C_P = C_V + R$
定積変化と定圧変化の両方で、気体の温度を同じだけ上げる場合を考えます。
定積変化では熱はすべて内部エネルギーの増加に使われます。 一方、定圧変化では温度を上げるのに加えて、膨張する分の仕事 $P\Delta V = nR\Delta T$ も必要です。
だから定圧のほうが余分に熱が必要で、$C_P = C_V + R > C_V$ となります。 $R$ の差は「膨張仕事のコスト」に対応しています。
等温変化は温度が一定（$T = \text{const}$）の過程です。
理想気体の内部エネルギーは $U = \dfrac{f}{2}nRT$ であり、温度のみの関数です。 温度が変化しないので：
$$\Delta U = 0 \quad \Longrightarrow \quad Q = W$$
等温変化では、吸収した熱がすべて仕事に変換されます（膨張の場合）。仕事を計算しましょう。
$W = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2} P\,dV$
$PV = nRT$ より $P = \dfrac{nRT}{V}$ を代入：
$W = \displaystyle\int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}$
$T$ は一定なので積分の外に出せる。$\int dV/V = \ln V$ を使って：
$$W = nRT \ln\frac{V_2}{V_1}$$
$$W = Q = nRT \ln\frac{V_2}{V_1}$$
P-V図では等温変化は $P = nRT/V$ の双曲線（等温線）で表されます。 温度が高い等温線ほど外側（右上）に位置します。
誤：等温変化で $W = P\Delta V$ を使って仕事を計算する
正：$W = P\Delta V$ は $P$ が一定（定圧変化）のときだけ有効。 等温変化では $P$ が変化するので、$W = \int P\,dV$ を積分で計算する必要がある。
断熱変化は熱の出入りがない（$\delta Q = 0$）過程です。第一法則に代入すると：
$$dU = -\delta W = -P\,dV$$
つまり、気体が膨張すると（$dV > 0$）内部エネルギーが減少し（$dU < 0$）、温度が下がります。 圧縮すると温度が上がります。
$$\delta Q = 0 \quad \Longrightarrow \quad W = -\Delta U = -nC_V \Delta T$$
断熱変化では $PV^\gamma = \text{const}$ という関係が成り立ちます。これをポアソンの式と呼びます。導出してみましょう。
第一法則の断熱版：$dU = -P\,dV$
$dU = nC_V dT$ を代入：$nC_V dT = -P\,dV$ ……(1)
理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ の両辺を微分：
$P\,dV + V\,dP = nR\,dT$ ……(2)
(1) から $dT = -\dfrac{P\,dV}{nC_V}$ を (2) に代入：
$P\,dV + V\,dP = nR \cdot \left(-\dfrac{P\,dV}{nC_V}\right) = -\dfrac{R}{C_V}\,P\,dV$
整理すると $V\,dP = -P\,dV\left(1 + \dfrac{R}{C_V}\right) = -\dfrac{C_V + R}{C_V}\,P\,dV = -\dfrac{C_P}{C_V}\,P\,dV$
$\gamma = C_P / C_V$ とおくと：$V\,dP = -\gamma P\,dV$
変数分離して：$\dfrac{dP}{P} = -\gamma \dfrac{dV}{V}$
両辺を積分：$\ln P = -\gamma \ln V + \text{const}$
$$PV^\gamma = \text{const}$$
$$PV^\gamma = \text{const} \qquad \left(\gamma = \frac{C_P}{C_V}\right)$$
等温変化（$PV = \text{const}$）と断熱変化（$PV^\gamma = \text{const}$）を比べると、 $\gamma > 1$ なので断熱変化のほうが $P$ の減少が速くなります。
物理的な理由は明快です。等温膨張では外部から熱が供給されるため温度が維持されますが、 断熱膨張では熱の供給がないため、仕事をした分だけ温度が下がります。 温度が下がると圧力もさらに下がるので、断熱変化のほうが急な曲線になります。
気体がある状態から出発し、いくつかの過程を経て元の状態に戻る一連の変化をサイクルと呼びます。
サイクルでは始点と終点が同じなので、$\Delta U = 0$（状態量は元に戻る）です。第一法則より：
$$\Delta U = 0 \quad \Longrightarrow \quad Q_{\text{net}} = W_{\text{net}}$$
1サイクルで吸収した正味の熱量は、1サイクルで外部にした正味の仕事に等しくなります。
P-V図上では、サイクルは閉じた曲線で表されます。 正味の仕事 $W_{\text{net}}$ は、この閉曲線で囲まれた面積に等しくなります。
4つの状態変化は、すべて $dU = \delta Q - P\,dV$ という1つの式の特殊ケースです。
定積変化：$dV = 0$ を代入 → $dU = \delta Q$
定圧変化：$P = \text{const}$ で積分 → $\Delta U = Q - P\Delta V$
等温変化：$dT = 0$（$dU = 0$）を代入 → $\delta Q = P\,dV$
断熱変化：$\delta Q = 0$ を代入 → $dU = -P\,dV$
暗記すべきは $dU = \delta Q - P\,dV$ の1つだけです。あとは条件を入れるだけです。
| 状態変化 | 条件 | $W$ | $\Delta U$ | $Q$ |
|---|---|---|---|---|
| 定積 | $dV = 0$ | $0$ | $nC_V \Delta T$ | $nC_V \Delta T$ |
| 定圧 | $P = \text{const}$ | $P\Delta V$ | $nC_V \Delta T$ | $nC_P \Delta T$ |
| 等温 | $T = \text{const}$ | $nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$ | $0$ | $nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$ |
| 断熱 | $\delta Q = 0$ | $-nC_V \Delta T$ | $nC_V \Delta T$ | $0$ |
Q1. 定積変化で $W = 0$ となる理由を、$W = \int P\,dV$ の式から説明してください。
Q2. マイヤーの関係 $C_P - C_V = R$ の物理的な意味を述べてください。
Q3. 等温変化で仕事の計算に $W = P\Delta V$ ではなく $W = \int P\,dV$ を使わなければならない理由は何ですか。
Q4. P-V図上のサイクルにおいて、囲まれた面積は何を表しますか。
各状態変化での第一法則の適用を、問題で確認しましょう。
1 mol の単原子理想気体（$C_V = \frac{3}{2}R$）を 300 K から 400 K に加熱する。$R = 8.31$ J/(mol$\cdot$K) とする。
(1) 定積変化で加熱したとき、必要な熱量 $Q_V$ を求めよ。
(2) 定圧変化で加熱したとき、必要な熱量 $Q_P$ を求めよ。
(3) $Q_P > Q_V$ となる理由を述べよ。
(1) $Q_V = nC_V\Delta T = 1 \times \frac{3}{2} \times 8.31 \times 100 = 1247$ J
(2) $Q_P = nC_P\Delta T = 1 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times 100 = 2078$ J
(3) 定圧変化では温度上昇に伴い気体が膨張し、外部に仕事 $P\Delta V = nR\Delta T = 831$ J をする。その分だけ余計に熱が必要になるため $Q_P > Q_V$。
$C_P = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$（マイヤーの関係）。
$Q_P - Q_V = n(C_P - C_V)\Delta T = nR\Delta T = 831$ J。これは定圧過程で気体がした仕事 $W = P\Delta V = nR\Delta T$ に一致する。
2 mol の理想気体を温度 $T = 300$ K 一定のもとで、体積を $V_1 = 10$ L から $V_2 = 30$ L に準静的に膨張させる。$R = 8.31$ J/(mol$\cdot$K) とする。
(1) この過程で気体が外部にした仕事 $W$ を求めよ。
(2) 内部エネルギーの変化 $\Delta U$ を求めよ。
(3) 気体が吸収した熱量 $Q$ を求めよ。
(1) $W = nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1} = 2 \times 8.31 \times 300 \times \ln 3 = 4986 \times 1.099 \approx 5.48 \times 10^3$ J
(2) $\Delta U = 0$（等温変化なので内部エネルギーは変化しない）
(3) $Q = \Delta U + W = 0 + W \approx 5.48 \times 10^3$ J
等温変化では $T$ が一定なので、理想気体の内部エネルギー $U = \frac{f}{2}nRT$ も一定であり $\Delta U = 0$。
$W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$
$\ln 3 \approx 1.099$ を使って数値計算。吸収した熱はすべて外部への仕事に変換される。
1 mol の二原子理想気体（$\gamma = 7/5$）が、初期状態 $(P_1, V_1, T_1) = (1.0 \times 10^5\ \text{Pa},\ 20\ \text{L},\ 240\ \text{K})$ から断熱的に圧縮され、体積が $V_2 = 10$ L になった。
(1) 圧縮後の圧力 $P_2$ を求めよ。
(2) 圧縮後の温度 $T_2$ を求めよ。
(3) この過程で外部が気体にした仕事を求めよ。
(1) $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ より $P_2 = P_1 \left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = 1.0 \times 10^5 \times 2^{7/5} \approx 2.64 \times 10^5$ Pa
(2) $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ より $T_2 = T_1 \left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 240 \times 2^{2/5} \approx 317$ K
(3) 断熱変化なので $Q = 0$。$W = -\Delta U = -nC_V(T_2 - T_1) = -1 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times (317 - 240) \approx -1600$ J。外部が気体にした仕事は $|W| \approx 1600$ J。
(1) ポアソンの式 $PV^\gamma = \text{const}$ を適用。$V_1/V_2 = 2$ なので $P_2 = P_1 \times 2^{1.4}$。$2^{1.4} = 2^1 \times 2^{0.4} = 2 \times 1.32 \approx 2.64$。
(2) $TV^{\gamma-1} = \text{const}$ を使う。$\gamma - 1 = 0.4$ なので $T_2 = 240 \times 2^{0.4} = 240 \times 1.32 \approx 317$ K。断熱圧縮により温度は上昇する。
(3) 気体がした仕事は $W = -nC_V\Delta T < 0$（圧縮なので負）。外部が気体にした仕事はその絶対値。$C_V = \frac{5}{2}R$（二原子分子）。