高校物理の問題文には「空気抵抗は無視する」という一文がほぼ必ず添えられています。
なぜ無視するのか、無視しないとどうなるのか。高校では説明されません。
大学物理では、空気抵抗を速度に比例する力としてモデル化し、運動方程式を微分方程式として解きます。
その結果、終端速度や時定数といった物理的に意味のある量が自然に現れます。
この記事では、空気抵抗のある落下運動を変数分離法で解き、
「無視する」の裏側にある物理を具体的に示します。
高校物理で自由落下を扱うとき、問題文にはほぼ必ず「空気抵抗は無視する」と書かれています。 この条件のもとで、落下運動は等加速度運動（加速度 $g$）となり、速度は $v = gt$（初速ゼロの場合）で際限なく増加します。
しかし、現実にはどんな物体も無限に速くなることはありません。 雨粒は地上に到達するまでに一定の速度に落ち着きますし、スカイダイビングのジャンパーも約 200 km/h で速度が安定します。
高校で空気抵抗を無視する理由は明確には説明されませんが、大学の視点から見ると次のように整理できます。
つまり、「物理的に無意味だから無視する」のではなく、「数学的な道具がまだないから無視する」のが実態です。 大学物理では、その道具（微分方程式の解法）が手に入るため、空気抵抗を正面から扱えるようになります。
空気抵抗のある落下を解ける。 $m(dv/dt) = mg - bv$ という微分方程式を変数分離法で解き、速度 $v(t)$ と位置 $x(t)$ を求められるようになります。
終端速度の概念を理解する。 十分な時間が経つと速度が $v_\infty = mg/b$ に近づくことを式から示し、その物理的意味を理解します。
時定数の意味を知る。 $\tau = m/b$ が「終端速度の何%に達するまでにかかる時間」を決める量であることを理解し、指数関数的減衰という物理の基本パターンを身につけます。
「無視する」を定量的に判断できる。 時定数 $\tau$ に比べて短い時間なら空気抵抗は無視できる、と判断する基準を持てます。
空気抵抗にはいくつかのモデルがありますが、この記事では最も基本的な速度に比例する抵抗力を扱います。
$$F_{\text{drag}} = -bv$$
下向きを正として、質量 $m$ の物体の鉛直落下を考えます。 物体に働く力は重力 $mg$（下向き）と空気抵抗 $-bv$（上向き、つまり運動と逆向き）です。
運動方程式は次のようになります。
$$m\frac{dv}{dt} = mg - bv$$
注意：速度に比例する抵抗力 $F = -bv$ は、低速の場合（レイノルズ数が小さい場合）のモデルです。
実際は：日常的な速度（スカイダイビング、自動車など）では、抵抗力は速度の2乗に比例する $F = -cv^2$ のほうが正確です。 ただし、2乗に比例する場合は微分方程式が非線形になり、解析がやや複雑になります。 この記事では、微分方程式の解法を学ぶ第一歩として、解析的に解ける $F = -bv$ のモデルを扱います。
日常的な速度範囲では、空気抵抗は $F = \frac{1}{2}C_D \rho A v^2$ で表されます。 ここで $C_D$ は抗力係数、$\rho$ は空気密度、$A$ は物体の断面積です。
この場合の運動方程式 $m(dv/dt) = mg - cv^2$（$c = \frac{1}{2}C_D\rho A$）も変数分離法で解けますが、 解に双曲線関数（$\tanh$）が現れます。基本的な構造（終端速度の存在、指数的接近）は速度に比例する場合と同じです。
運動方程式 $m\dfrac{dv}{dt} = mg - bv$ を、初期条件 $v(0) = 0$（静止から落下開始）のもとで解きます。
Step 1：変数を分離する
$$m\frac{dv}{dt} = mg - bv$$
右辺を整理して $v$ を含む部分をまとめます。
$$m\frac{dv}{dt} = b\left(\frac{mg}{b} - v\right)$$
$v_\infty = mg/b$ と置くと：
$$m\frac{dv}{dt} = b(v_\infty - v)$$
$v$ と $t$ を分離します。
$$\frac{dv}{v_\infty - v} = \frac{b}{m}\,dt$$
Step 2：両辺を積分する
$$\int_0^{v(t)} \frac{dv'}{v_\infty - v'} = \int_0^t \frac{b}{m}\,dt'$$
左辺：$\displaystyle\int \frac{dv'}{v_\infty - v'} = -\ln|v_\infty - v'|$ なので、
$$\left[-\ln(v_\infty - v')\right]_0^{v(t)} = \frac{b}{m}\,t$$
（$v < v_\infty$ であるため絶対値記号は外せます）
$$-\ln(v_\infty - v) + \ln(v_\infty) = \frac{b}{m}\,t$$
$$\ln\frac{v_\infty}{v_\infty - v} = \frac{b}{m}\,t$$
Step 3：$v$ について解く
両辺の指数を取ります。
$$\frac{v_\infty}{v_\infty - v} = e^{bt/m}$$
$$v_\infty - v = v_\infty\, e^{-bt/m}$$
$$v = v_\infty\left(1 - e^{-bt/m}\right)$$
$$v(t) = \frac{mg}{b}\left(1 - e^{-bt/m}\right)$$
正しく解けているか確認します。
$v(t) = v_\infty(1 - e^{-t/\tau})$ は「指数関数的に一定値に近づく」形です。 この形は物理学全体で繰り返し現れます（RC回路の充電、放射性崩壊の逆パターンなど）。
落下直後（$t \ll \tau$）は $v \approx gt$ で自由落下に近く、 十分時間が経つと（$t \gg \tau$）速度は $v_\infty$ に漸近します。 この2つの極限を結ぶのが指数関数です。
$t \to \infty$ のとき $v \to v_\infty = mg/b$ となります。 これを終端速度（terminal velocity）と呼びます。
$$v_\infty = \frac{mg}{b}$$
終端速度は、運動方程式 $m(dv/dt) = mg - bv$ で $dv/dt = 0$（加速度ゼロ）と置いても得られます。
$$0 = mg - bv_\infty \quad \Longrightarrow \quad v_\infty = \frac{mg}{b}$$
つまり、終端速度とは「重力と空気抵抗が完全につりあう速度」です。 この速度に達すると、物体にかかる正味の力がゼロになり、等速運動に移行します。
| 物体 | 終端速度（概算） | 備考 |
|---|---|---|
| 霧雨の水滴（直径 0.1 mm） | 約 0.3 m/s | ゆっくり落ちる |
| 雨粒（直径 2 mm） | 約 6.5 m/s | 空気抵抗がなければ致命的な速度になる |
| スカイダイバー（腹ばい） | 約 55 m/s（200 km/h） | 断面積を変えると終端速度が変わる |
| 野球ボール | 約 42 m/s | 質量が小さく断面積が大きいほど終端速度は低い |
終端速度 $v_\infty = mg/b$ の式から、質量 $m$ が大きいほど、また抵抗係数 $b$ が小さいほど、終端速度は大きくなることが分かります。 スカイダイバーがパラシュートを開くと $b$ が大幅に増加し、終端速度が約 5 m/s まで低下して安全に着地できます。
もし空気抵抗がなければ、高度 2000 m から落下する雨粒の地面到達時の速度は $v = \sqrt{2gh} \approx 200$ m/s（時速 700 km 以上）になります。 実際には空気抵抗のおかげで終端速度（数 m/s）まで減速されるため、雨粒は痛くありません。
これは「空気抵抗を無視する」ことが現実とどれだけ乖離しうるかを示す好例です。
速度の式を $\tau = m/b$ を使って書き直すと：
$$v(t) = v_\infty\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$
この $\tau$ を時定数（time constant）と呼びます。
$$\tau = \frac{m}{b}$$
時定数 $\tau$ は「終端速度にどのくらいの速さで近づくか」を決めるパラメータです。
| 経過時間 | 終端速度に対する割合 |
|---|---|
| $t = \tau$ | $63.2$% |
| $t = 2\tau$ | $86.5$% |
| $t = 3\tau$ | $95.0$% |
| $t = 5\tau$ | $99.3$% |
実用的には、$t \ge 3\tau$ で終端速度にほぼ達していると見なせます。
$t \ll \tau$ のとき、$e^{-t/\tau} \approx 1 - t/\tau$ なので：
$$v(t) \approx v_\infty \cdot \frac{t}{\tau} = \frac{mg}{b} \cdot \frac{b}{m} \cdot t = gt$$
つまり、観測時間が時定数 $\tau$ に比べて十分短い場合、空気抵抗を無視した $v = gt$ で十分な精度が得られます。
高校で当然のように書かれていた「空気抵抗は無視する」という条件は、大学の視点では次のように定量化されます。
観測時間 $t$ が時定数 $\tau = m/b$ に比べて十分小さいとき（$t \ll \tau$）、空気抵抗は無視できる。
これにより、空気抵抗を無視してよいかどうかを、感覚ではなく数値で判断できるようになります。
速度 $v(t)$ が求まったので、もう一度積分すれば位置 $x(t)$ が得られます。 下向きを正、初期位置を $x(0) = 0$ とします。
$$x(t) = \int_0^t v(t')\,dt' = \int_0^t v_\infty\left(1 - e^{-t'/\tau}\right)dt'$$
$$= v_\infty\left[t' + \tau\,e^{-t'/\tau}\right]_0^t$$
$$= v_\infty\left[\left(t + \tau\,e^{-t/\tau}\right) - \left(0 + \tau\,e^0\right)\right]$$
$$= v_\infty\left(t + \tau\,e^{-t/\tau} - \tau\right)$$
$$= v_\infty\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right]$$
$$x(t) = v_\infty\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right]$$
空気抵抗と微分方程式の関係は、大学物理の多くの分野に通じています。
Q1. 空気抵抗 $F = -bv$ のある落下の運動方程式 $m(dv/dt) = mg - bv$ を、高校の等加速度運動の式 $m(dv/dt) = mg$ と比較してください。何が違いますか。
Q2. 終端速度 $v_\infty = mg/b$ を、運動方程式から「加速度ゼロ」の条件を使って導いてください。
Q3. 時定数 $\tau = m/b$ の物理的な意味を述べてください。
Q4. $v(t) = v_\infty(1 - e^{-t/\tau})$ で $t \to 0$ のとき $v \approx gt$ となることを示してください。
空気抵抗のある運動を、微分方程式の解法を使って分析しましょう。
質量 $m = 0.05$ kg の物体が空気中を落下する。速度に比例する空気抵抗の係数が $b = 0.1$ N$\cdot$s/m であるとき、次の問いに答えよ。重力加速度は $g = 9.8$ m/s$^2$ とする。
(1) 終端速度 $v_\infty$ を求めよ。
(2) 時定数 $\tau$ を求めよ。
(3) 落下開始から $t = 1.0$ s 後の速度を求めよ。
(1) $v_\infty = mg/b = 0.05 \times 9.8 / 0.1 = 4.9$ m/s
(2) $\tau = m/b = 0.05 / 0.1 = 0.5$ s
(3) $v(1.0) = 4.9(1 - e^{-1.0/0.5}) = 4.9(1 - e^{-2}) \approx 4.9 \times 0.865 \approx 4.24$ m/s
$\tau = 0.5$ s なので、$t = 1.0$ s は $t = 2\tau$ に相当します。 表から、$t = 2\tau$ では終端速度の約 86.5% に達しているため、$v \approx 0.865 \times 4.9 \approx 4.24$ m/s。
空気抵抗を無視した場合は $v = gt = 9.8$ m/s であり、実際の速度の2倍以上。 この物体では空気抵抗を無視すると大きな誤差が生じることが分かります。
水平面上で、初速度 $v_0$ で滑り出した物体が、速度に比例する抵抗力 $F = -bv$ のみを受けて減速する。重力の影響は考えない（水平方向の運動のみ）。
(1) 運動方程式を立てよ。
(2) 変数分離法を用いて $v(t)$ を求めよ。
(3) $v(t)$ を積分して位置 $x(t)$ を求めよ。$x(0) = 0$ とする。
(4) $t \to \infty$ で物体が到達する最終位置 $x_\infty$ を求めよ。
(1) $m\dfrac{dv}{dt} = -bv$
(2) $v(t) = v_0\,e^{-bt/m} = v_0\,e^{-t/\tau}$（$\tau = m/b$）
(3) $x(t) = v_0\tau(1 - e^{-t/\tau})$
(4) $x_\infty = v_0\tau = mv_0/b$
(2) $\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{b}{m}\,dt$ を積分すると $\ln v - \ln v_0 = -bt/m$。よって $v = v_0\,e^{-bt/m}$。
(3) $x = \displaystyle\int_0^t v_0\,e^{-t'/\tau}\,dt' = v_0\left[-\tau\,e^{-t'/\tau}\right]_0^t = v_0\tau(1 - e^{-t/\tau})$
(4) $t \to \infty$ で $e^{-t/\tau} \to 0$ なので $x_\infty = v_0\tau = mv_0/b$。
速度が指数関数的に減衰するため、物体は有限の距離で止まる。これは等速運動（永遠に進む）とも等加速度運動の減速（有限時間で止まる）とも異なる振る舞いです。
質量 $m$ の物体が初速度 $v_0 > 0$（下向き正）で鉛直下方に投げ出された。速度に比例する空気抵抗 $F = -bv$ と重力 $mg$ が働く。
(1) 運動方程式を立て、変数分離法を用いて $v(t)$ を求めよ。
(2) 初速度 $v_0$ が終端速度 $v_\infty = mg/b$ より大きい場合と小さい場合で、速度がどのように変化するか説明せよ。
(3) $v_0 = v_\infty$ の場合、物体はどのような運動をするか述べよ。
(1) $m\dfrac{dv}{dt} = mg - bv$ を変数分離法で解くと $v(t) = v_\infty + (v_0 - v_\infty)e^{-t/\tau}$（$\tau = m/b$）
(2) $v_0 < v_\infty$：$v_0 - v_\infty < 0$ なので、速度は $v_0$ から増加して $v_\infty$ に漸近する（加速）。$v_0 > v_\infty$：$v_0 - v_\infty > 0$ なので、速度は $v_0$ から減少して $v_\infty$ に漸近する（減速）。
(3) $v_0 = v_\infty$ のとき、$v(t) = v_\infty$（定数）。つまり最初から終端速度なので等速運動を続ける。
(1) $m\dfrac{dv}{dt} = mg - bv = b(v_\infty - v)$ を変数分離し、初期条件 $v(0) = v_0$ で積分します。
$\displaystyle\int_{v_0}^{v} \frac{dv'}{v_\infty - v'} = \frac{b}{m}\int_0^t dt'$ より、$-\ln\dfrac{v_\infty - v}{v_\infty - v_0} = \dfrac{t}{\tau}$
$v_\infty - v = (v_\infty - v_0)e^{-t/\tau}$ よって $v(t) = v_\infty + (v_0 - v_\infty)e^{-t/\tau}$
(2) いずれの場合も指数項 $e^{-t/\tau}$ は $t \to \infty$ でゼロに近づくため、$v \to v_\infty$ に収束します。初速が終端速度より小さければ加速、大きければ減速して、同じ終端速度に到達するのです。
(3) $v_0 = v_\infty$ ならば式中の $(v_0 - v_\infty) = 0$ となるため、$v(t) = v_\infty$ で定数。最初から重力と空気抵抗がつりあっているので、加減速が起きません。