高校物理では、核分裂と核融合でエネルギーが放出されることを学び、
$E = mc^2$ という有名な式を知識として扱います。
しかし、具体的にどれだけのエネルギーが放出されるかを計算する方法は十分に扱われません。
大学物理では、$E = mc^2$ が特殊相対性理論から導かれる質量とエネルギーの等価性であることを学び、
核反応で放出（または吸収）されるエネルギーをQ値として定量的に計算します。
この計算は、A-22-1で学んだ結合エネルギー曲線と完全に整合します。
本記事はこのシリーズの最終記事です。
核反応のエネルギー計算を通じて、第22章全体の内容を統合し、
原子核物理の定量的な理解を完成させます。
高校物理では、核反応とエネルギーについて次のことを学びます。
これらは正しい知識ですが、高校の範囲では次の点が不足しています。
$E = mc^2$ を使って核反応のエネルギーを計算できるようになる。 反応前後の質量差にQ値の公式を適用し、MeV 単位で放出エネルギーを求められます。
核分裂と核融合のエネルギーを定量的に見積もれるようになる。 U-235の核分裂で約200 MeV、水素の核融合（pp鎖）で約26.7 MeV といった具体的な値を理解します。
結合エネルギー曲線（A-22-1）との一貫性を確認できる。 Q値の計算結果が、結合エネルギー曲線から予測される方向と一致することを確認します。
核エネルギーの応用（原子力発電・核融合炉）の原理を理解できる。 連鎖反応の条件や核融合の技術的課題の根拠が分かります。
アインシュタインの特殊相対性理論によれば、質量とエネルギーは等価であり、 相互に変換可能です。
$$E = mc^2$$
核物理では、質量を原子質量単位（u）で表し、エネルギーを MeV で表すのが便利です。 $1\,\text{u}$ の質量が持つエネルギーは、
$$1\,\text{u} = 931.5\,\text{MeV}/c^2$$
$1\,\text{u} = 1.6605 \times 10^{-27}\,\text{kg}$
$E = mc^2 = 1.6605 \times 10^{-27} \times (3.00 \times 10^8)^2 = 1.494 \times 10^{-10}\,\text{J}$
$1\,\text{MeV} = 1.602 \times 10^{-13}\,\text{J}$ なので、
$E = 1.494 \times 10^{-10} / 1.602 \times 10^{-13} = 931.5\,\text{MeV}$
誤：核反応で質量が消えてエネルギーが生まれる
正：質量とエネルギーは同じものの異なる表現です。 核反応では、反応後の生成物の静止質量が減少し、 その分だけ運動エネルギーや放射線のエネルギーが増加します。 系全体のエネルギー（質量エネルギー + 運動エネルギー）は保存されています。
核反応で放出（または吸収）されるエネルギーを定量的に表すのがQ値（反応エネルギー）です。
$$Q = (\text{反応前の質量の和} - \text{反応後の質量の和}) \times c^2$$
Q値は結合エネルギーを使っても表現できます。
$$Q = (\text{反応後の全結合エネルギー}) - (\text{反応前の全結合エネルギー})$$
Q値は「質量の差」からも「結合エネルギーの差」からも計算できます。どちらも同じ結果を与えます。
質量から：反応前の質量の和が反応後より大きければ、その差分がエネルギーとして放出される。
結合エネルギーから：反応後の結合エネルギーの和が反応前より大きければ（より安定になれば）、その差分が放出される。
符号の向きが逆であることに注意してください。質量が「減る」と結合エネルギーは「増え」、エネルギーが「出る」のです。
核分裂の代表例は、$^{235}\text{U}$ が中性子を吸収して分裂する反応です。
$^{235}\text{U}$ に熱中性子（低速の中性子）が衝突すると、$^{236}\text{U}$（励起状態）を経て、 2つの中程度の質量数の原子核（核分裂片）と数個の中性子に分裂します。 典型的な反応の例は、
$$^{235}_{92}\text{U} + n \to {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3n$$
1回の核分裂で放出されるエネルギーは約200 MeVです。 これは化学反応1回あたりのエネルギー（数 eV）の約 $10^8$（1億）倍に相当します。
核分裂で放出される2〜3個の中性子が、他の $^{235}\text{U}$ に吸収されてさらに核分裂を引き起こすと、 連鎖反応が起こります。 連鎖反応が持続する条件は、1回の核分裂で放出される中性子のうち、 平均してちょうど1個が次の核分裂を引き起こすことです。 これを臨界状態と呼びます。
U-235の核分裂では、生成される2つの核分裂片の質量はほぼ等しくはなく、 質量数が約95と約140付近に集中します。 この「非対称核分裂」は原子核構造の殻効果（マジックナンバー）に関連しています。
核融合は軽い原子核同士が融合してより重い原子核を形成する反応です。 太陽のエネルギー源として最も重要な反応です。
太陽内部では、4個の水素原子核（陽子）が一連の反応を経て 1個のヘリウム原子核（$^4\text{He}$）に変換されます。 全体としての反応は、
$$4\,{}^1_1\text{H} \to {}^4_2\text{He} + 2e^+ + 2\nu_e + \gamma$$
この反応全体で放出されるエネルギーは約26.7 MeVです。
陽子の質量：$m_p = 1.007276\,\text{u}$
$^4\text{He}$ の原子核質量：$M(^4\text{He}) = 4.001506\,\text{u}$
質量差（陽電子の質量を無視した近似）：
$\Delta m = 4 \times 1.007276 - 4.001506 = 4.029104 - 4.001506 = 0.02760\,\text{u}$
$Q \approx 0.02760 \times 931.5 = 25.7\,\text{MeV}$
（陽電子の消滅エネルギー $2 \times 2 \times 0.511\,\text{MeV} = 2.04\,\text{MeV}$ を加えると約 $26.7\,\text{MeV}$）
核融合を起こすには、2つの陽子（正電荷同士）のクーロン反発に打ち勝って 核力が働く距離（約1 fm）まで接近させる必要があります。 これには極めて高い温度（数千万度以上）が必要であり、 太陽内部ではこの条件が満たされています。
地球上で核融合を制御して行うこと（核融合炉）は、 プラズマを超高温に保ちながら閉じ込める技術的課題が大きく、 現在も研究開発が進行中です。
1回の反応あたりのエネルギーは核分裂の方が大きいですが（200 MeV vs 17.6 MeV）、 核子1個あたりに換算すると核融合の方が効率がよいことが分かります。
これは結合エネルギー曲線の傾きに対応しています。 曲線の左側（軽い核の領域）の傾きは右側（重い核の領域）より急であり、 軽い核の融合の方が核子あたりの結合エネルギーの変化が大きいためです。
原子力発電は、U-235の制御された連鎖反応を利用しています。 核分裂で発生する熱エネルギーで水を沸騰させ、蒸気でタービンを回して発電します。 制御棒（中性子吸収材）で中性子の数を調節し、反応が臨界状態を維持するように制御します。
核融合炉が実現すれば、燃料（重水素・三重水素）が海水から得られるため、 事実上無尽蔵のエネルギー源となります。 しかし、プラズマを $10^8$ K 以上に加熱し、 十分な時間閉じ込める技術が必要であり、技術的な課題が大きく残されています。
化学反応（燃焼など）は原子の最外殻電子の組み換えであり、1反応あたり数 eV 程度のエネルギーです。 核反応は原子核内部の変化であり、1反応あたり数 MeV〜数百 MeV のエネルギーです。 この $10^6$〜$10^8$ 倍という差は、核力の結合エネルギー（MeV オーダー）が 化学結合のエネルギー（eV オーダー）よりはるかに大きいことに由来します。
本記事は第22章および本シリーズの最終記事です。 これまでの記事との関連を整理します。
Q1. $1\,\text{u}$ の質量は何 MeV のエネルギーに相当しますか。
Q2. 核反応のQ値が正（$Q > 0$）であるとき、この反応は発熱反応ですか、吸熱反応ですか。その理由を述べてください。
Q3. U-235の核分裂で放出されるエネルギーは、化学反応（例：燃焼）と比べておよそ何倍ですか。
Q4. 核融合を地球上で実現する際の最大の技術的課題は何ですか。
核反応のエネルギー計算の理解を、問題で確認しましょう。
$E = mc^2$ と $1\,\text{u} = 931.5\,\text{MeV}/c^2$ を用いて、次の問いに答えよ。
(1) 陽子の質量 $m_p = 1.007276\,\text{u}$ は何 MeV に相当するか。
(2) 中性子の質量 $m_n = 1.008665\,\text{u}$ は何 MeV に相当するか。
(3) 中性子と陽子の質量差はいくらか（MeV 単位）。この差はβ崩壊とどう関係するか。
(1) $1.007276 \times 931.5 = 938.3\,\text{MeV}$
(2) $1.008665 \times 931.5 = 939.6\,\text{MeV}$
(3) $939.6 - 938.3 = 1.3\,\text{MeV}$。中性子は陽子より約1.3 MeV 重い。この質量差がβ崩壊（$n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$）で放出されるエネルギーの源泉です。
質量の u 単位の値に 931.5 を掛けるだけで MeV に換算できます。 中性子が陽子より重いからこそ、自由な中性子はβ崩壊を起こして陽子に変換されることができます。 逆に、自由な陽子がβ+崩壊を起こすことは質量的に禁止されています（核内の場合は別）。
U-235の核分裂反応 $^{235}\text{U} + n \to {}^{141}\text{Ba} + {}^{92}\text{Kr} + 3n$ について、次のデータを用いてQ値を求めよ。
$M(^{235}\text{U}) = 235.0439\,\text{u}$、$M(^{141}\text{Ba}) = 140.9144\,\text{u}$、$M(^{92}\text{Kr}) = 91.9262\,\text{u}$、$m_n = 1.008665\,\text{u}$
(1) 反応前の全質量を求めよ。
(2) 反応後の全質量を求めよ。
(3) Q値を MeV 単位で求めよ。
(1) 反応前：$235.0439 + 1.008665 = 236.0526\,\text{u}$
(2) 反応後：$140.9144 + 91.9262 + 3 \times 1.008665 = 140.9144 + 91.9262 + 3.02600 = 235.8666\,\text{u}$
(3) $Q = (236.0526 - 235.8666) \times 931.5 = 0.1860 \times 931.5 = 173\,\text{MeV}$
反応前には U-235 と中性子1個、反応後には Ba-141、Kr-92、中性子3個が存在します。 質量差にQ値の定義を適用します。
計算で得られた 173 MeV は、核分裂片の運動エネルギーに相当する部分です。 実際には、γ線やβ崩壊のエネルギーなどを含めた全放出エネルギーは約 200 MeV になります。
太陽内部のpp鎖反応全体は $4p \to {}^4\text{He} + 2e^+ + 2\nu_e$ と書ける。 $m_p = 1.007276\,\text{u}$、$M(^4\text{He}) = 4.001506\,\text{u}$、$m_e = 0.000549\,\text{u}$ として、次の問いに答えよ。
(1) 反応前後の質量差 $\Delta m$ を求めよ（陽電子の質量も考慮すること）。
(2) 放出されるエネルギーを MeV 単位で求めよ。
(3) 太陽の光度（放射パワー）は $L = 3.85 \times 10^{26}\,\text{W}$ である。太陽が1秒間に「質量として失う量」を kg 単位で求めよ。
(4) (3)の結果について、太陽の全質量 $M_\odot = 2.0 \times 10^{30}\,\text{kg}$ と比較し、核融合が太陽の寿命に十分なエネルギーを供給できるか論じよ。
(1) 反応前：$4 \times 1.007276 = 4.029104\,\text{u}$。 反応後：$4.001506 + 2 \times 0.000549 = 4.002604\,\text{u}$。 $\Delta m = 4.029104 - 4.002604 = 0.02650\,\text{u}$
(2) $Q = 0.02650 \times 931.5 = 24.7\,\text{MeV}$ （陽電子が電子と対消滅するエネルギー $2 \times 2 \times 0.511 = 2.04\,\text{MeV}$ を加えると約 $26.7\,\text{MeV}$）
(3) $\Delta m / \Delta t = L / c^2 = 3.85 \times 10^{26} / (3.0 \times 10^8)^2 = 3.85 \times 10^{26} / 9.0 \times 10^{16} = 4.3 \times 10^9\,\text{kg/s}$
(4) 毎秒 $4.3 \times 10^9\,\text{kg}$ を失うので、全質量が尽きるまでの時間の上限は $2.0 \times 10^{30} / 4.3 \times 10^9 = 4.7 \times 10^{20}\,\text{s} \approx 1.5 \times 10^{13}$ 年。 実際には核の水素のみ（全質量の約10%）が燃料であり、太陽の寿命は約100億年と見積もられる。現在の太陽は約46億歳であり、核融合による燃料は十分である。
(1)(2) pp鎖反応のQ値を求める基本的な計算です。陽電子の質量を忘れずに含める必要があります。 さらに、陽電子は周囲の電子と対消滅し、$2 \times 0.511\,\text{MeV}$ のγ線を生成するため、 これを含めた全放出エネルギーは約 $26.7\,\text{MeV}$ となります。
(3) $E = mc^2$ を微小量に適用します。太陽が放射するパワー $L$ は、 毎秒 $\Delta m = L/c^2$ の質量を失うことに対応します。 毎秒約43億kgの質量がエネルギーに変換されていますが、 太陽の全質量 $2 \times 10^{30}\,\text{kg}$ に比べれば極めて小さい割合です。
(4) 太陽の寿命を見積もる際には、核融合の燃料となる水素が全質量のうち 中心核の部分（約10%）に限られることを考慮します。